Bandes dessinées - Corrigé

Énoncé

Un libraire souhaite déstocker un nombre \(n\) de bandes dessinées en les vendant par lots. En regroupant les bandes dessinées par lots de \(15\) , il en reste \(8\) ; tandis qu'en les regroupant par lots de \(23\) , il en reste \(9\) .

1. Vérifier que \(n\) est solution du système \((S) \colon \left\lbrace \begin{array}{l}n \equiv 8 \ [15]\\ n \equiv 9 \ [23]\end{array} \right.\) .

2. Justifier l'existence de deux entiers relatifs \(u\) et \(v\) tels que \(15u+23v=1\) .

3. On pose \(n_0=9 \times 15u+8 \times 23v\) .
    a. Vérifier que \(n_0\) est une solution de \((S)\) .
    b. Déterminer une solution particulière \(n_0\) de \((S)\) .

4. a. Vérifier que :  \((S) \ \Longleftrightarrow \ \left\lbrace \begin{array}{l}n \equiv n_0 \ [15]\\ n \equiv n_0 \ [23]\end{array} \right.\) .
    b. En déduire que \(n\) est solution de \((S)\) si, et seulement si, \(n \equiv n_0 \ [345]\) .

5. On sait que  \(n\)  est compris entre \(500\) et \(900\) . Quelle est la valeur de \(n\) ?

Solution

1. En regroupant les bandes dessinées par lots de \(15\) , il en reste \(8\) , donc \(n=15k+8\) avec \(k \in \mathbb{N}\) .

En regroupant les bandes dessinées par lots de \(23\) , il en reste \(9\) , donc \(n=23k'+9\) avec \(k' \in \mathbb{N}\) .

On en déduit que \(\left\lbrace \begin{array}{l}n \equiv 8 \ [15]\\ n \equiv 9 \ [23]\end{array} \right.\) .

2. On a \(\mathrm{PGCD}(15;23)=1\) . Comme \(1\) divise \(1\) , l'équation \(15x+23y=1\) admet des solutions dans \(\mathbb{Z}^2\) . Ainsi, il existe \((u;v) \in \mathbb{Z}^2\) tel que \(15u+23v=1\) .

3. a. Comme  \(n_0=9 \times 15u+8 \times 23v\) , on a :

• d'une part, \(n_0 \equiv 8 \times 23v \ [15]\) , or \(23v=1-15u\) , donc \(n_0 \equiv 8(1-15u) \equiv 8-8 \times 15u \equiv 8 \ [15]\)  ;
• d'autre part,  \(n_0 \equiv 9 \times 15u \ [23]\) , or \(15u=1-23v\) , donc \(n_0 \equiv 9(1-23v) \equiv 9-9 \times 23v \equiv 9 \ [23]\) .

Ainsi, \(n_0 \equiv 8 \ [15]\) et \(n_0 \equiv 9 \ [23]\) , donc \(n_0\) est solution de \((S)\) .

b. D'après la question 3.a, il suffit de déterminer un couple \((u;v)\) tel que \(15u+23v=1\) . On utilise l'algorithme d'Euclide :
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline a&b&q&r\\ \hline 23&15&1&8\\ \hline 15&8&1&7\\ \hline 8&7&1&1\\ \hline 7&1&7&0\\ \hline\end{array} \begin{array}{l}\ \\ \times 2 \\ \times (-1) \\ \times 1\\ \ \end{array}\end{align*}\)  
donc  \(\begin{align*}23 \times 2+15 \times (-1)=15 \times 1 \times 2+1& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 15 \times (-3)+23 \times 2=1\end{align*}\)  et donc \((u;v)=(-3;2)\) est une solution de \(15u+23v=1\) .

En utilisant la question 3.a, une solution particulière de \((S)\) est alors donnée par :
\(\begin{align*}n_0=9 \times 15u+8 \times 23v=9 \times 15 \times (-3) +8 \times 23 \times 2=-37\end{align*}\)  c'est-à-dire \(n_0=-37\) .

4.a. On procède par double implication.

• \((\Rightarrow)\) Soit \(n\) une solution de \((S)\) . Alors \(\left\lbrace \begin{array}{l}n \equiv 8 \ [15]\\ n \equiv 9 \ [23]\end{array} \right.\) .
  Comme \(n_0\) est une solution de \((S)\) , on a aussi  \(\left\lbrace \begin{array}{l}n_0 \equiv 8 \ [15]\\ n_0 \equiv 9 \ [23]\end{array} \right.\) .
  On en déduit que \(\left\lbrace \begin{array}{l}n \equiv n_0 \ [15]\\ n \equiv n_0 \ [23]\end{array} \right.\) .
• \((\Leftarrow)\) Soit \(n\) un entier tel que \(\left\lbrace \begin{array}{l}n \equiv n_0 \ [15]\\ n \equiv n_0 \ [23]\end{array} \right.\) .
  Comme \(n_0\) est une solution de \((S)\) , on a aussi \(\left\lbrace \begin{array}{l}n_0 \equiv 8 \ [15]\\ n_0 \equiv 9 \ [23]\end{array} \right.\) .
  On en déduit que \(\left\lbrace \begin{array}{l}n \equiv 8 \ [15]\\ n \equiv 9 \ [23]\end{array} \right.\) c'est-à-dire que \(n\) est une solution de \((S)\) .

b. D'après la question 4.a, on a :
\(\begin{align*}n \text{ est solution de } (S)& \ \ \Longleftrightarrow \ \ n \equiv n_0 \ [15] \text{ et } n \equiv n_0 \ [23]\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ n-n_0 \equiv 0 \ [15] \text{ et } n-n_0 \equiv 0 \ [23]\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \text{il existe } k, k' \in \mathbb{Z} \text{ tels que } n-n_0=15k=23k'\end{align*}\)  

Ainsi, \(15\) divise \(23k'\) , or \(\mathrm{PGCD}(15;23)=1\) donc d'après le théorème de Gauss, \(15\) divise \(k'\) c'est-à-dire qu'il existe \(m \in \mathbb{Z}\) tel que \(k'=15m\) .

On en déduit que \(n-n_0=23 \times 15m=345m\) ,
donc \(n-n_0 \equiv 0 \ [345]\) ,
donc \(n \equiv n_0 \ [345]\) .

Réciproquement, si \(n \equiv n_0 \ [345]\) , alors il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(n-n_0 = 345k=15 \times 23k\) ,
donc \(n-n_0 \equiv 0 \ [15]\) et \(n-n_0 \equiv 0 \ [23]\) ,
et donc \(n\) est solution de \((S)\) .

5. Le nombre \(n\) de bandes dessinées est solution de \((S)\) .
D'après la question 4.b, on a alors \(n \equiv n_0 \ [345]\) .
D'après la question 3.b, \(n_0=-37\) est une solution particulière de \((S)\) .
Comme \(n\) est compris entre \(500\) et \(900\) , on en déduit que \(n=-37+2 \times 345=653\) , et il y a donc \(653\) bandes dessinées à vendre.